Saggi/Speciali

Profane commedie. La quarta dimensione tra scienza e arte

di Luigi Zuccaro*

Florenskij e Bulgakov, 1917

Florenskij e Bulgakov, 1917

Perché, secondo l’opinione mia, a chi vuole una cosa ritrovare, bisogna adoperar la fantasia. E se tu non puoi ire a dirittura, mill’altre vie ti posson aiutare.  –Galileo Galilei, “Contro il portar la toga”

1. Introduzione. Anche la letteratura ha una sua unità di tempo, spazio e azione, come ci insegnava  Aristotele; questa unità, nell’età contemporanea si rifrange in un multiverso e cioè in molteplici piani narrativi, in più dimensioni. Dimensioni non solo figurate, sono dei veri e propri cronotopi si direbbe con Michael Bachtin, sono dimensioni nello spazio e nel tempo ulteriori rispetto a quelle convenzionali. Arte, estetica e letteratura sono qui tenute in conto con un aspetto prettamente matematico e relazionale, tipico della scienza contemporanea. Dai racconti di Hinton, sino ad Abbot, i futuristi russi e Michael Bulgakov, tutti sviluppano il plot, l’intreccio narrativo, l’epos, tenendo conto della costituzione molteplice dell’universo e, dunque, di molteplici piani e livelli di realtà sia essa spazio-temporale sia essa simbolica. Dietro queste espressioni si cela una nuova antropodicea, un far questione sull’uomo e la sua collocazione nel cosmo, che può far pensare unicamente a delle “profane commedie”, dei viaggi nel mondo degli astri, o dell’immaginazione matematica, in cui ne va dell’eskhaton dell’uomo, del suo destino e della propria collocazione in un mondo plurale, un caleidoscopio di forme e colori, frattale nel tempo-spazio o, per usare un’espressione di Lotman, nella semiosfera.

2. Un mondo in quattro dimensioniTra lo scorcio di fine XIX secolo e di inizio XX secolo la riflessione sulla quarta dimensione è divenuta un tema di scottante attualità che ha travalicato i confini della geometria per giungere dalla fisica-matematica, alla filosofia, alla letteratura e all’arte. Si usciva definitivamente dal paradigma della meccanica retto dai cosiddetti gruppi di Galileo. Già dal 1908 i modelli di coni di luce di Hermann Minkowski precorsero le analisi di Einstein e di Hermann Weyl[1] sui rapporti tra spazio, tempo e materia e consentirono di comprendere spazio e tempo non più assoluti, come nella concezione newtoniana, ma in relazione. Artisti, filosofi e letterati al corrente delle rivoluzioni scientifiche del secolo lungo, si cimentarono nell’opera di una rivoluzione linguistica volta a cristallizzare una quarta dimensione nella prosa, nella poesia, nella pittura e talvolta nella scultura. Se nelle scienze si assiste ad un influsso della fisica sperimentale su quella teorica, spazio e tempo d’ora in poi saranno considerati come uniti, nell’arte vi è un chiasmo con la scienza che pone difronte ad un oltrepassamento della soglia dell’umano, si giunge ad una concezione, non già suprematista, di artista come Ubersmench, dal momento che questi oltrepassa le visioni canoniche sul mondo e giunge ad una sintesi ulteriore di cultura e natura che estenda la conoscenza umana. Aperto dinamico e relativo a confronto con uno spazio tridimensionale, lineare, chiuso, statico e gerarchico, codificato nelle sue implicazioni artistiche dal Rinascimento (con la prospettiva lineare, il punto di fuga, l’orizzonte, le coordinate) ed arrivato quasi inalterato fino alle soglie del XX secolo. In rapida successione si assisteva all’emergere di nuovi paradigmi anche in merito al rapporto tra località e globalità, che portarono a nuove e inaspettate analogie tra i problemi della microfisica e quelli della cosmologia. Su questo fronte i dilemmi dell’esistenza umana vengono trasposti in universi patafisici[2], entro cui si ripropone la tematica del viaggio in altri mondi che è stata emblematicamente espressa nella Divina Commedia, ritorna nel romanzo e nella poetica fantascientifica o metastorica di fine Ottocento e inizio Novecento. La categoria di cronotopo, impiegata da Michael Bachtin, mutuata dalla fisica dello spazio-tempo, risulta utile a comprendere non più secondo la lezione aristotelica “l’unità, di tempo, luogo, azione” si apre con la fine dell’Ottocento un multiverso[3] e l’uomo, un tempo compreso come materia signata, secondo le categorie tomiste, cessa di essere “uomo ad una dimensione”.

3. Oltre Riemann, la matematica dello spazio e del tempo a fine Ottocento. La scienza di fine Ottocento, con i suoi progressi nell’algebra, dovuti prevalentemente alle figure di Hermann Grassmann e al lavoro precedente di Hamilton, portò ad ulteriori progressi nella teoria fisica. Si comprese come ogni corpo dovesse avere un’estensione in quattro dimensioni quali lunghezza, larghezza, profondità e durata.  Le prime tre pertengono allo spazio e la quarta al tempo, almeno in un contesto pre-relativista come questo[4]. I geometri si sono interessati allo spazio multi-dimensionale almeno dal lavoro di Georg Riemann, lavoro pubblicato nel 1857. Il concetto di geometria multidimensionale era presente anche in Hermann von Helmoltz, celebre fisico e fisiologo tedesco, il quale diede un’interpretazione empirista della Critica della Ragion Pura, ma tal corso di idee era vivo in alcuni matematici tra i più rilevanti dell’epoca quali ad esempio l’algebrista Arthur Cayley e Felix Klein. Tali autori hanno preparato il terreno fecondo su cui è attecchita la teoria dello spazio-tempo di Hermann Minkowski. Già Jean Rond d’Alambert e Joeseph Louis Lagrange, nel contesto della meccanica, avanzarono la possibilità di elaborare una quarta dimensione, peraltro anche Immanuel Kant, su un fronte prettamente teoretico avanzò la medesima ipotesi. Per quanto concerne le teorie di campo è bene ricordare l’apporto e il contributo specifico di Grassmann[5] ed Hamilton. Come lo stesso matematico tedesco affermava essa era un metodo per condurre la geometria a risultati fruttuosi, un metodo per risolvere diversi problemi di analisi e di meccanica, in cui vengono ad essere ripresi i fattori simbolici di Cauchy tradotti in quantità estensive. Grassmann sviluppò, in tal modo, un calcolo vettoriale sulla base delle concezioni di Arthur Cayley che definivano vettore di uno spazio a n dimensioni un sistema di n numeri reali o immaginari. Tale tipo di calcolo venne ripreso anche da Giuseppe Peano nel suo Calcolo geometrico, opera del 1888. Successivamente tale tipo di analisi dello spazio, in conformità con un rinnovato approccio vettoriale, influenzò anche Henrì Poincaré e Cartan[6]. La geometria, in tal senso, è un’applicazione della teoria delle forme alle intuizioni fondamentali dello spazio, ed è in virtù dell’impiego di una dialettica tra reale e formale che, a livello geometrico, il continuo può essere compreso come discreto e il discreto come continuo sulla base della dialettica uguale e distinto.

4. Da Grassmann ad Hamilton. Il nucleo teorico del calcolo dell’estensione e dei quaternioni[7], è la cosiddetta moltiplicazione polare con proprietà opposte alla moltiplicazione commutativa e scalare, infatti vale ab = -ba; dal momento che un prodotto binario è una lunghezza misurata sulla linea avente come estremi i due punti, mentre un prodotto ternario è l’area misurata e compresa tra i tre punti.  Nelll’Ausdehnungslehre una linea è vista come prodotto di due estremi, tali parti sono da considerarsi parti simili, mentre nei quaternioni[8] l’operazione di qp= Σ  in cui p e Σ  sono vettori, il quaternione q è un’operazione che converte il vettore p in Σ. Maxwell[9] è stato uno dei primi fisici ad introdurre il concetto di quarta dimensione, il suo lavoro sulla teoria elettromagnetica, ora considerato come il più importante sviluppo nella fisica del diciannovesimo secolo, ha ricevuto non molta attenzione nell’immediato.  Il dibattito dell’epoca si era concentrato sulla natura della forza gravitazionale, e sulla forza ad azione a distanza, in cui si comprendeva ancora l’etere come il medium di tali forze.

Poincare, Disco Iperbolico

Poincare, Disco Iperbolico

5. Dal gruppo di Poincaré alla metrica di Hermann Minkowski. L’interesse di Poincaré per questo genere di tematiche, concernenti spazio e tempo in relazione, si profilò grazie ad una circostanza curiosa,  non già per via di uno specifico interesse teoretico, difatti, studiò presso il Bouerau[10] la via per sincronizzare i fusi orari internazionali, riferendosi ad uno spazio assoluto. Tale spazio assoluto rimandava ancora alla nozione di etere. Lorentz nel frattempo studiò il cosiddetto tempo proprio, a partire nell’ambito delle riconsiderazioni a proposito degli esperimenti falliti circa la misurazione del moto dell’etere, difronte all’impossibilità di determinare la simultaneità, riprendendo l’aspetto a lui caro del convenzionalismo delle teorie, la stabilì per sola via ipotetica, siamo nel 1898. Poincaré, giunse quindi a comprendere come dovesse essere postulata la velocità della luce come costante per poter avere, per usare un’espressione cara ad Ernst Mach, una semplicità teorica. In due quaderni del 1900, Poincaré trattò del “moto relativo” questione di primo livello nell’ambito della meccanica galileiana e fondamento del gruppo di Galileo.  Quattro anni dopo elaborò un principio di relatività, per cui nell’ambito della meccanica o dell’elettromagnetismo non si può distinguere tra uno stato uniforme o di quiete. Nel 1905 Poincaré confrontandosi con Lorentz affrontava il problema del fattore di dilatazione temporale, Poincaré si poneva sul crinale di una vera e propria rottura epistemologica, lavorò affinché le trasformazioni di Lorentz divenissero un gruppo, per farlo, formulò quella che è oggi nota come legge di composizione della velocità relativistica. Il punto essenziale, stabilito da Lorentz, è che le equazioni del campo elettromagnetico non vengono alterate da una certa trasformazione che Poincaré affermò fosse un’invariante.  Il matematico francese comprese come la trasformazione di Lorentz fosse effettivamente una rotazione nello spazio quadridimensionale attorno all’origine mediante il ricorso ad una coordinata immaginaria, e inizialmente formulò questa geometria con un quadivettore. Il tentativo di Poincaré di riformulare la meccanica nello spazio quadrimensionale fu rifiutato da lui stesso nel 1907, perché riteneva che la traduzione della fisica nel linguaggio della metrica quadrimensionale richiedesse troppo sforzo per un beneficio esiguo. Hermann Minkowski riprese questo modello nel 1908, rappresentandolo mediante i cosiddetti “coni di luce” che consentono di comprendere i sistemi di riferimento inerziale.

6. Verso il quadridimensionalismo come luogo letterarioIl mondo tridimensionale, l’universo rappresentato dallo spazio affine che interseca i coni di luce di Minkowski è un eterno presente. Un eterno presente che anche nell’induismo è stato ricompreso soprattutto in riferimento al cosiddetto samsara, l’oceano dell’esistenza. Questo concetto compare nelle Upanisad vediche e fa riferimento ad una ruota, che simboleggia il ciclo delle esistenze, su cui ritornò la riflessione sulla quarta dimensione di Ouspenskij come si vedrà di seguito.

7. Dai cubi di Charles Hinton a BorgesIn A New Era of Thought Hinton, del 1888, Hinton, affermava che, quando si incontra l’infinito in ogni forma del nostro pensiero, l’infinito sia parte di una realtà superiore, un ordine altro. Per Hinton, che pure da Kant muoveva, gli esseri umani porterebbero al proprio interno le condizioni della percezione dello spazio ciò significa che anche la quarta dimensione potrebbe essere radicata nella nostra costituzione trascendentale e occorre trovare un metodo, una via per renderla perspicua. Il termine tesseracto, riferito alla realtà spaziale in cui vive l’uomo, un ipercubo, è stato coniato in A New Era of Thought. Mentre, nel saggio Casting out of the self, del 1904, Hinton inventò dei termini per descrivere le direzioni quadridimensionali che nel suo sistema di cubi colorati costituivano dei punti di riferimento in una estetica della quarta dimensione. Hinton viene citato da Borges che scrisse peraltro una prefazione ai suoi racconti scientifici, anche in Tlon Uqbar Orbis Tertius ed è riconosciuto dallo scrittore argentino come un ispiratore. Ne  El milagro secreto Borges, evidenzia la storia delle diverse concezioni del tempo da quella parmenidea per giungere al passato alterabile di Hilton, argomentando con Francis Bradley, il neohegeliano inglese, autore di Appearence and Reality, Borges fa di Hilton un precursore della metafisica dell’irrealtà del tempo, dal momento che non esisterebbero serie temporali e basta anche una sola ripetizione di esperienze nell’uomo e questo basta ad inficiare l’argomento della irreversibilità del tempo o quanto meno della sua illusorietà compresa in tal modo da Ibn Arabi che influì pure su Dante.

8. Quarta dimensione e occultismoOuspenskij matematico che finì ben presto per occuparsi di interessi alquanto esotici è stato l’interprete russo più importante del pensiero di Hinton, difatti, il suo influsso sulle avanguardie russe appare innegabile ed ha condizionato la stessa estetica futurista, in un milieu che coede fantasie magiche con il portato della scienza. Vicino alla teosofia e alla visione discutibile di Gurdjeff dei rapporti tra microcosmo e macrocosmo, Ouspenskij con l’opera Tertium Organum, prospetta una nuova era dell’umanità che superi definitivamente l’impostazione aristotelica e baconiana, per giungere ad una logica dell’et-et, una logica inclusiva e non dell’aut-aut, che permetta di integrare le scienze della natura con quelle dello spirito, proprio grazie al ruolo della quarta dimensione.

9. Arte di confine. Verso la fine dell’Ottocento si possono collocare i natali della tendenza futurista, una sorta di luddismo artistico in grado di scardinare la tradizionale metafisica della rappresentazione Vorstellung, e di mostrare come il tempo per dirla con Aristotele, sia immagine, mobile dell’eternità. Il cubismo è la tendenza artistica più pregnante su questo fronte, una corrente in grado di rappresentare sul supporto del quadro lo stratificarsi dell’immagine nel tempo e lungo vari assi e dimensioni, il supporto bidimensionale attraverso dei giochi di ombra e tra le polarità cromatiche rappresenta un fotogramma del moto nelle quattro dimensioni, un esempio emblematico è il dipinto di Pablo Picasso, il Ritratto di Ambroise Voillard.

Picasso, Ambroise Vollard, 1915

Picasso, Ambroise Vollard, 1915

In questo dipinto come pure nella scultura è manifesto il Welt-Geist, l’immagine si rifrange, si stratifica, essendo modello di una “cosa” di un’altra dimensione, essendo l’immagine cinematica e non più statica, un je ne se quoi in movimento, in divenire. J. Metzinger, ben al corrente, peraltro dei progressi e dei risultati a cui pervenne Poincaré, nel manifesto Du cubisme del 1912, affermava che se si dovesse fare riferimento alla geometria dei cubisti occorrerebbe prendere in considerazione gli scienziati non euclidei e meditare alcuni teoremi di Bernard Riemann.

10. L’avanguardia russaChlebnikov può essere considerato uno dei più emblematici simbolisti russi, il suo influsso è vivo in Majakovskij, Pasternak, è viva in lui la tematica della Russia intesa come grosse raum, come spazio immenso, come Eurasia, e questa magica asiacità, quest’esotismo di cui trasuda la propria poesia si sposa con i suoi studi matematici. Il nomadismo, le peregrinazioni nell’immenso territorio russo assieme alla sua esistenza da criptorivoluzionario, fanno di lui un poeta che anche nella sua esistenza ha incarnato quanto da lui professato ed espresso nel linguaggio onirico della sua poesia. Chlebnikov riprese le teorie di Lobacevskij ed è emblematico che il poema omonimo, dedicato al rivoluzionario Razin, ponga in corrispondenza la sua ricerca linguistica con lo spirito rivoluzionario di quest’ultimo con la rivoluzione matematica di Lobacevskij. Il nomadismo è una delle caratteristiche della sua poesia, attraversata da una iterazione erratica di figure e immagini che si dispongono con la frammentarietà e il disordine dei disegni infantili e della prospettiva cubista. Tra questi nuclei semantici ricorrenti, unici elementi di coesione in una lirica disarticolata, uno dei più suggestivi propone immagini di civiltà arcaiche, spaccati di epoche remotamente maestose, che Chlebnikov contrappone al trambusto meccanico della civiltà moderna. La lingua di un popolo può essere equiparata alla geometria di Euclide, la sua opera vuole sperimentare vie alternative per rendere la lingua del popolo russo in grado di rappresentare la metrica di Lobacevskij. Lo stesso Michael Bulgakov, se pur distante dal futurismo, risente di questo tipo di riflessione sullo spirito geometrico, anche la sua celebrata opera allegorica Il maestro e Margherita, contiene delle parti che sicuramente riecheggiano questo dibattito, more geometrico. Il romanzo si apre infatti con una disputa su Kant fra Berlioz, Bezdomnyj e lo straniero, nel corso della quale sono messe in ridicolo le disquisizioni kantiane sull’argomento delle dimostrazioni di Dio, che “possono soddisfare solo degli schiavi”.

11. Una macchina del tempo tra science fiction e apocalissiFlorovskij riflettendo sulla teologia di Vladimir Solov’ëv, affermava che stesse arrivando il tempo apocalittico, mai espressione più felice per celebrare anche un nuovo tipo di scrittura, sul fronte dello stile e delle tematiche, non solo nella teologia russa, ma nelle stesse avanguardie. H. G. Wells si ispirò alle implicazioni della matematica di Bernard Riemann per giungere a comprendere la realtà di una quarta dimensione che consentisse di viaggiare nel tempo, così come si viaggia nello spazio. Un racconto per alcuni versi profetico, come diversi altri di Wells, ma a tratti apocalittico, pretesto per mettere in luce la possibile estinzione del genere umano. Il tempo interpretato come quarta dimensione è presente anche nella letteratura russa anche in un romanzo che apparentemente sembra lontano dal quadridimensionalismo tipico dell’avanguardia futurista Il maestro e Margherita. Berlioz afferma di essere stato a pranzo anche con Kant, una sorta di messaggio subliminale questo, un riferimento non casuale, a questi, difatti, si deve la rivoluzione copernicana della percezione e della conoscenza, egli è visto da Ouspensky come antesignano di Gauss e Lobacevkij. Per Charles Hinton, matematico e personaggio a tratti discutibile, in odore di pseudoscienza le leggi del nostro universo sarebbero le tensioni di superfici in un’altra dimensione, come in un liquido, queste tensioni spiegano il comportamento globale e fluido della materia corpuscolare in un quadro ondulatorio. Ed è lo stesso incrocio di realtà appartenenti ad ordini diversi si osserva nel plot narrativo de Il maestro e Margherita difatti, gli eventi passati di Gerusalemme vengono espressi con una descrizione realistica, mentre gli eventi presenti, nella narrazione subiscono uno straniamento fantastico. Nell’opera di Bulgakov confluiscono le due concezioni del tempo fisico e metafisico, nella scena del gran ballo  che accade tra quarta e quinta dimensione. A questo ballo, patrocinato da Berlioz, viaggiatore nel tempo e nello spazio, partecipano invitati di epoche storiche diverse. La quotidianità è rappresentata con un ricorso alla terza dimensione.

12. L’amore al tempo… dei triangoliFlatlandia dell’abate E. A. Abbot è un romanzo, a suo modo, esistenzialista, e ha come sottotitolo, racconto fantastico a più dimensioni. Un quadrato è il protagonista del romanzo, ambientato appunto a flatlandia un universo piatto a due dimensioni, giunge a rompere la monotonia una sfera che rappresenta l’ingresso della terza dimensione, venuta a propagandare il verbo della terza dimensione, il che appare al quadrato inammissibile. Oltre ad essere un romanzo a tratti satirico a tratti pedagogico, Abbot, partendo dalle ricerche di Riemann e ispirandosi a Charles Hinton, giunge ad ammettere dimensioni superiori alla terza. Flatlandia è un’opera di fantasia, ma la facoltà dell’immaginazione è stata impiegata anche da Henrì Poincaré che si propose di studiare le invarianze topologiche a più dimensioni con il ricorso al concetto di varietà il primitivo la 3 sfera e le varietà sono in uno spazio quadridimensionale. Ogni varietà è studiata in rapporto con la n-sfera di dimensione corrispondente,  la proprietà di contraibilità permette di studiare una sfera bidimensionale, tramite la contrazione di un cappio fino ad un punto sulla sfera, la cosiddetta congettura di Poincaré, difatti, è un’ipotesi. La caratteristica di Eulero-Poincarè è pari alla somma algebrica degli ordini di singolarità dei punti che servono a reticolare una superficie chiusa. Per reticolare una superficie si usano dei quadrati, per un oggetto tridimensionale si usano dei cubi. Generalizzando ad n dimensioni, si utilizzano degli ipercubi.

13. L’estetica di Pavel FlorenskijPavel Florenskij La colonna e il fondamento della verità, Lettera sesta, la contraddizione. Il tribolo è uno strumento di ferro con quattro punte detto anche piede di corvo, che ha la capacità di restare sempre in piedi. I triboli venivano sparsi sul terreno per ostacolare l’ avanzata dei nemici. Per il pensatore russo il tribolo è immagine della verità, che è sempre antinomica: una congiunzione di contrari, non però simmetrici, per cui “una punta è sempre rivolta all’insù”  Florenskij, ne La prospettiva rovesciata, fa riferimento al valore quadridimensionale dell’icona, come immagine, figura, del tempo-spazio, dell’icona trattata come evento e discontinuità nella continua processione di forme. Diversamente dunque, da Le porte regali, quest’opera pone in luce l’aspetto “fisico” delle icone, comprese non solo come ponte per una dimensione altra, ulteriore, ma come increspatura e forma saliente che emerge dalla natura con la sua continuità di forme e di apparenze. Le icone, comprendono il tempo sub spaecie aeternitatis, ed alludono ad un eterno presente, ad un tempo in cui le distinzioni tra passato, presente e futuro, sono inconsistenti, questo è il tempo della spiritualità, ma anche di un Universo, compreso come relazione come quello che Florenskij afferma sia quello einsteiniano.

Bibliografia essenziale

Edwin Abbott Flatlandia: storia fantastica a più dimensioni, ed. it  Adelphi
L. Boi, D. Flament, J. M. Salanskis 1830-1930 : A century of geometry : epistemology, history and mathematics  Berlin  Springer,
Pavel Florenskij La prospettiva rovesciata ed. it. Adelphi
Ettore Lo Gatto, Storia della letteratura russa  ed. – Firenze : Sansoni
Peter Galison, Gli orologi di Einstein, le mappe di Poincaré. Imperi del tempo ed. it. Raffaello Cortina Milano
Pëtr Demianovič Ouspensky Tertium Organum, Astrolabio-Ubaldini Editore, Roma
Rudy Rucker, La quarta dimensione Milano, Adelphi,
Elemire Zolla Uscite dal mondo ed it Adelphi Milano


[1] Secondo Hermann Weyl, il principio di calcolo tensoriale, su cui si radica la teoria fisica dei quaternioni. inerisce alla conservazione dell’energia, comprende come l’azione totale che è la somma delle cariche in azione all’interno di un campo, sommate alla azione della sostanza della massa per ogni variazione arbitraria del campo e lo spazio-tempo (ricompreso nel decorrere delle linee di tempo di ogni punto della sostanza)  non siano soggette a cambiamento.
[2] Per usare l’espressione di Alfred Jarry
[3] Il fenomeno dell’interdiscorsività è un fenomeno molto importante che è stato studiato, proprio, da Bachtin. Quando due culture sono in stretto contatto, i vocaboli, le idee, i pensieri, i concetti di una cultura passano ovviamente all’altra e quindi non si riesce più a trovare la fonte diretta, perché quando un’espressione comincia a circolare non si sa più chi l’abbia creata o chi l’abbia messa in circolo.
[4] La celebre opera di H.G. Wells The Time Machine  è un racconto fantascientifico memore di questa impostazione ed è scritto prima della trattazione minkowskiana dello spazio-tempo.
[5] La teoria dell’estensione di Grassmann è una branca della matematica qualitativa, una teoria generale delle forme.
[6] Un’ulteriore attestazione del valore di questo tipo di calcolo, la si reperisce nelle parole di Hermann Weyl in Filosofia della matematica e delle scienze naturali, laddove si afferma che il migliore approccio del suo tempo alla geometria analitica sia quello derivante dalla teoria dell’estensione di Grassmann. Le forme di cui tratta l’Ausdehnungslehre sono forme geometriche primitive che andrebbero a comporre quella che Leibniz, nell’Analysis Situs, denomina caratteristica geometrica che afferisce alla characteristica universalis.
[7] I quaternioni di Hamilton, invece, sono comprensibili come rotazioni, tensori, nel dominio dei numeri complessi. I tensori sono dei vettori che operano in maniera tale per cui direzione e grandezza sono cambiati, il tensore è un’operazione di secondo grado, su dei vettori, dunque un operatore di un operatore. Si tratta di operatori di un livello più alto, il prodotto non ha proprietà commutativa. Da qui nacquero le algebre non commutative e la teoria delle matrici impiegatissima in fisica, per esempio in meccanica quantistica laddove, oggi, si tratta delle matrici di spin di Pauli e Dirac, mediante tali matrici si rappresentano i momenti angolari.
[8] Secondo Clifford vi è tuttavia una distinzione netta tra Ausdehnungslehre, ovvero il calcolo dell’estensione di Hermann Grassmann e i quaternioni di Hamilton. Questo tipo di studi, con Gibbs, ebbe anche un influsso sulla teoria fisica, questi lavorò sullo spazio n-dimensionale mediante la meccanica statistica e pubblicò  delle sue note: Multiple Algebra for Dynamics.
[9] Maxwell ha distinto i due tipi di vettori in forza e flusso, i quali sono funzioni lineari delle unità e dei prodotti lineari. Inoltre l’etere ebbe un suo impiego immediato nella teoria della luce e nell’elettromagnetismo.
[10] Peter Galison, Gli orologi di Einstein, le mappe di Poincaré. Imperi del tempo ed. it. Raffaello Cortina, Milano, 2004.
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CIMG0219*Luigi Zuccaro nasce nel 1984 a Cantù, si laurea in filosofia della scienza nel 2009 con una tesi dal titolo “Ontologia ed epistemologia del processo a partire da C. S. Peirce e A. N. Whitehead. Si interessa ai rapporti tra scienze umane ed epistemologia della complessità
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